Geometrica

x üzeri n

with 5 comments

İnsan (bu insan) önem verdiği şeylere çok zor başlıyor. Daha önemsiz bulduklarını kasmadan, rahat rahat yapıyor, güzel şeyler oluyor. Önem verdiklerini elleyemiyor bile bir türlü.

Bikaç bilimsel site planı/projesi var yıllardır kafamda  döndürdüğüm. Baktım “istediğim gibi” yapabilme kaygısıyla (ve “Her projeye ayrı alan adı mı alsam?”, “Önce içerik mi oluştursam?”, “Alt yapıyı şöyle mi yapsam?”, “Kendi adımla mı yazsam?” gibi sorular arasında attığım turları sayarak) ömür geçiyor, bodoslama girmeye karar verdim. Buyrun.

Bir eski ev arkadaşımla (B.) beyaz tahtamız vardı evimizde. Arada geçer başına, kafamıza takılan şeyleri anlamaya çalışırdık. Sınavlar, ödevler, işler, güçler beklerken, kaç gece alakasız bir şeylere takılıp kendimizi kaybettik, uykusuz kaldık, uğraştık durduk. Kimi zaman çözdük uğraştığımız şeyi, kimi zaman çözemedik. Belki biraz da alanlarımız farklı olduğu için, öyle çok uçuk, ileri seviye şeyler de konuşmadık pek. Ta lisede, hatta ortaokulda öğretilen, çoktan anlamış olmamız beklenecek, ama anlamadığımızı fark ettiğimiz şeylerle uğraştık. Bilmem kaç yüzyıl önce Antik Yunan’da anlaşılmış da olsa uğraştığımız şey, çözünce/anlayınca yeni bulmuş gibi sevindik, suratımızda bir sırıtışla gittik uyumaya.

İşte o kafa kafaya verip uğraştığımız sorulardan biri, bu “bodoslama giriş”te sormak istediğim:

x^n‘in integrali, neden x^{n+1} ile orantılı?

Biraz garip bir soru, bir bakıma. Türev/integral öğretilirken ilk anlatılan şeylerden biri aslında, x^n‘in integrali. İspatı da (bir yere kadar) lisede bile veriliyor. Herhangi bir analiz (calculus) kitabını açıp okumak mümkün. Bir şeyin doğruluğunu adım adım ispatlayınca, önceden bilinen şeylere dayandırınca, o şeyin niye doğru olduğunu göstermiş de olmuyor muyuz? Elimizde ispat varken, bir de “neden?” diye sormanın anlamı var mı? Bir önermenin muhtelif ispatlarından bazılarının, onun neden doğru olduğunu açıklamaya daha çok yaklaştığını söylemek, anlamlı mı?  Eğer bazı ispatların ayrıcalıklı oluğunu söyleyeceksek, “insanın bilişsel mekanizmasına hitap etme”nin ötesinde bir ayrıcalıktan bahsedilebilir mi?

Zor, derin, güzel mevzular. Ama genel (ve belki kolayca afaki hale gelebilecek) bir tartışmaya girmektense, yukarıdaki probleme dönelim diyorum. Oradan öğrendiklerimiz ne kadar yardımcı olacak, bakalım.

Birkaç arkadaşıma sordum bu soruyu yıllar içinde. İkisi benim cevabımdan başka cevaplar buldular, ufkumu genişlettiler. Bildiğim cevapları bir sonraki yazıda anlatacağım, ama gene bilmediğim, düşünmediğim bir şey çıkar, yeni pencereler açılır belki diye bir umutla: Bu soruya aradığım türden bir cevap bulana, benden kitap. Eğer bildiğim cevaplardan biri gelirse, böyle sorular üzerine kafa yormayı seven birinin seveceğini umduğum türden bir e-kitap. Yeni bir cevap gelirse, kağıttan kitap. (Kurallar: Bir dahaki yazıya kadar, internet’ten bakmak yok. Bir yerlerde okunmuş, önceden duyulmuş bir cevabı vermek yok—kendiniz düşünün. Bir de, “Çünkü integral türevin tersi, ve x^{n+1}‘in türevi, x^n ile orantılı (gerekirse limit alıp ispatlayabilirim)” gibi cevaplar vermek yok.)

Girin bakalım, bodoslama.

x üzeri 0, 1, 2, 3

Advertisements

Written by mkz

July 4, 2011 at 9:24 pm

Posted in Uncategorized

5 Responses

Subscribe to comments with RSS.

  1. Önce boyut analizi yapayım dedim: İntegral eğrinin altında kalan alan olduğuna göre, x genişlikte ve x^n yükseklikte bir dikdörtgenin alanının bir kısmıdır. Bu dikdörtgenin alanının boyutu uzunluk^(n+1) olduğuna göre, integralin boyutu da öyledir, yani integral c*x^(n+1) biçiminde olmalıdır.

    Soruya (“integral neden x^(n+1) e orantılı”) bu kadarıyla cevap vermiş oluyoruz. Ama c faktörünün x’e bağlı olamayacağını gösteremedim. sin, exp gibi x’in boyutsuz bir fonksiyonu olabilir meselâ.

    Aklıma gelen tek şey bir Riemann toplamı yapmak. [0,x] aralığını N parçaya ayıralım.

    x_i = (i-1)dx,~~~ dx = x/N,~~~ A_i = x_i^n * dx

    A = \sum_{i=1}^N A_i = \sum_{i=1}^N x_i^n dx

    Yerine koyarak:

    A = \sum_{i=1}^N \frac{x^{n+1}(i-1)^n}{N^{n+1}}

    i’ye bağlı olmayan terimleri toplam dışına çıkarınca:

    A = x^{n+1} \frac{\sum_{i=0}^{N-1} i^n}{ N^{n+1} }

    Böylece alanın x’e sadece x^(n+1) biçiminde bağlı olduğunu görüyoruz. Orantı sabiti x’e bağlı değil. Ama maalesef bu yöntem fazla analitik, oysa siz daha sezgiye dayalı bir çözüm arıyorsunuz. Yine beceremedim.

    Kaan Öztürk

    July 6, 2011 at 9:30 am

    • Teşekkürler cevaplarınız için. Tahmin ettiğiniz gibi, ilk yaklaşımınız aradığım türden bir cevap olmaya daha yakın. Ve dediğiniz gibi, c’nin neden x’e bağlı olmadığını da net olarak görmek gerekli (yoksa aynı argümanı kullanarak, örneğin e^x‘in integralinin de x.e^x ile orantılı olduğunu iddia etmek mümkün olurdu). Bu arada LaTeX kullandığınızı görüyorum, formüllerin başına “$ latex” (arada boşluk olmadan), sonuna da tek bir “$” koyarsanız, WordPress’in LaTeX derleyicisi tetikleniyor. (İzin verirseniz vakit bulunca yorumunuzu editleyip derlenebilir hale getireceğim.)

      Dediğiniz gibi, ikinci cevap şu haliyle biraz fazla hesap/formül şeklinde gelmekle birlikte, içinde daha sezgisel bir anlayışın nüvesini barındırıyor da olabilir, o yüzden onu da tamamen kenara atıyor olmak istemem.

      mkz

      July 6, 2011 at 1:38 pm

      • LaTeX derleyicisini öğrendiğim iyi oldu, teşekkürler. İzne hacet yok, buyrun.

        Kaan Öztürk

        July 7, 2011 at 8:57 am

  2. FriendFeed’deki yorumumu buraya kopyaliyorum.. Kaan’la benzer bi giris yapmisiz.. o daha guzel anlatmis, ayri.. :)

    “totoloji sanirim ama.. n’inci derecede bi [yuksek]parabol bi kenari x diger kenari x^n olan bi dortgenin alanini, bir kosesinden diger kosesine keserek, 1/(n+1)’ine dilimliyor.. 1/(n+1) de sabit olduguna gore, parabolun altinda kalan alan diktortgenin alaniyla (x*x^n) dogru orantili.. ama bu parabol nasil oluyo da o dortgenin alanini 1/(n+1)’e boluyo diye soruyosan, bi arkadasa bakip cikcaktim ben..”

    (neden o dortgenin alani 1/(n+1)’e dilimleniyor sorusuna hala efendi bi aciklama bulamadim)

    arpat

    July 7, 2011 at 10:25 pm

    • Sağol buraya da kopyaladığın için. Yaklaşımlarınız neredeyse aynı gerçekten. Düşün bakalım, çıkacak mı bir şey.

      mkz

      July 8, 2011 at 2:52 am


Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: